Bờ-nốc bình dân

Giản dị như gió, nhẹ nhàng như mây…

Nullstellenatz

Nullstellenatz là một thuật ngữ toán học, được sử dụng đầu tiên bởi Hilbert khi ông nghiên cứa về tập hợp nghiệm của một trường đa thức.

Tại kì thi Toán quốc tế lần thứ 48 diễn ra tại Việt Nam năm 2007, chỉ có đúng 3 thí sinh giải trọn vẹn bài toán số 6, được phát biểu dưới ngôn ngữ hình học nhưng bản chất lại là một bài đại số. Ba thí sinh đó gồm 1 là người Đức, 1 là người Nga và 1 là người Nga. Có điều khá ngẫu nhiên(?) là cả hai thí sinh Đông Âu kia đều sử dụng một kết quả khá nổi tiếng trong Đại Số tổ hợp liên quan đến Nullstellenatz để dẫn đến một hệ quả chính là bài số 6 này (!)

Thế nên, ban giám khảo đánh giá rất cao lời giải rất giản đơn, đẹp và khúc triết chỉ với nửa trang giấy A4( mà gạch xóa đến 3 dòng) của thí sinh người Đức, toan trao cho anh giải đặc biệt nhưng anh lại đơ ở bài 3 nên thôi 😀

Bài số 6 thế nào mà gớm vậy, nó chỉ nhẹ nhàng thế này thôi :

IMO 2007, Bài 6 (Hà lan):

Cho n là một số nguyên dương. Xét :

S = \{(x, y, z) : x, y, z\in \{0, 1, ..., n\}, x + y + z > 0\}

tập hợp gồm (n+1)^3-1 điểm trong không gian 3 chiều. Hãy xác định số nhỏ nhất có thể các mặt phẳng mà hợp của chúng chứa tất cả các điểm của S nhưng không chứa điểm (0,0,0)

Bản thân là người tham gia chấm bài này cho một số đoàn nhưng hầu hết các thí sinh đều bị đánh lừa bởi cách phát biểu của bài toán (bản thân cũng cảm thấy nếu mình phải làm thì mình cũng bị đánh lừa nếu thiếu kinh nghiệm 😀 ), dùng cách tiếp cận hình học hay tổ hợp nhưng đều thất bại. Có một số chôm chỉa điểm bằng cách giải quyết bài toán hai chiều, có thể thành công theo cách hình học. Tuy nhiên, đến giờ phút này vẫn chưa thấy một điểm sáng nào thông qua cách tiếp cận hình học cho trường hợp ba chiều như bài này cả.

Với một số ít học sinh có kinh nghiệm, họ chuyển hướng tiếp cận đại số, và đây là con đướng có thể dẫn tới đích. Có lẽ như sau là logic lập luận để đưa họ tới cách tiếp cận như vậy:

Các mặt phẳng có chung một phương trình biểu diễn dạng ax+by+cz+d=0(1). Nếu gọi m là số nhỏ nhất các mặt phẳng cần xác định, thì sẽ có m phương trình dạng (1). Mặt khác bất cứ một điểm (x,y,z) nào mà thuộc S thì toạn độ (x,y,z) của nó phải thỏa mãn một trong m phương trình dạng (1) trên. Do đó, một cách tự nhiên người ta nghĩ đến đa thức 3 biến sau :

\displaystyle P(x,y,z) = \Pi_{i=1}^{m}(a_ix+b_iy+c_iz+d_i)(2)

Ở đó a_ix+b_iy+c_iz+d_i=0,\ i=1, ..., mm phương trình của m mặt phẳng trong bài toán. Rõ ràng, mọi phần tử của S đều là nghiệm của P. Ngoài ra, điều kiện các mặt phẳng không chứa điểm (0,0,0) cho thấy P(0,0,0)\neq 0

Dưới ngôn ngữ đại số, bài toán được phát biểu:

Trên tập hợp \mathcal{P} các đa thức 3 biến P có dạng (2) mà thỏa mãn P triệt tiêu trên SP(0,0,0)\neq 0,, bậc nhỏ nhất cácđa thức trong \mathcal{P}

Tuyển thủ người Đức được nhắc đến ở trên, là một siêu sao trong làng IMO, có tên Peter Scholze. Cậu thi từ năm 2004 đến tận 2007 với 3 vàng 1 bạc. Cậu cũng thuộc dạng siêu sao trên diễn đàn rất phổ biến của giới trẻ yêu Toán và yêu bi bô về toán mathlinks. Ý tưởng của cậu về lời giải bài toán này tóm lược như sau: Nếu P là một đa thức bậc m thuộc \mathcal{P} . Cho đại tiện, ta có thể đặt

S_n = \{(x, y, z) : x, y, z\in \{0, 1, ..., n\}, x + y + z > 0\}

Cậu xét đa thức sai phân : Q_x(x,y,z)=P(x+1,y,z)-P(x,y,z), cậu nhận thấy rằng Q_x cũng có tình chất na ná như P, cụ thể, Q triệt tiêu trên tập sau:

S_x=\{(x,y,z)\in (0,...,n-1)\times (0,...,n) \times (0,...,n), x+y+z>0 \}

Q_x(0,0,0)\neq 0. Một cách tương tự đối với y,z, nghĩa là cậu xét tiếp các đa thức sai phân theo y và z, Q_{x,y}(x,y,z)=Q_x(x,y+1,z)-Q_x(x,y,z) rồi Q_{x,y,z}(x,y,z)=Q_{x,y}(x,y,z+1)-Q_{x,y}(x,y,z) thì cậu thu được đa thức Q=Q_{x,y,z}(x,y,z) có tính chất hệt như P. Cụ thể, Q triệt tiêu trên S_{n-1}Q(0,0,0)\neq 0,.

Để ý rằng, sau mỗi lần đặt sai phân thì bậc của các đa thức Q_x, Q_{x,y},Q_{x,y,z} lại giảm đi đúng 1, do đo bậc của Qm-3. Như vậy, với S_{n-1} cậu có đa thức thuộc \mathcal{P} bậc m-3 nên bằng quy nạp toán học, cậu suy ra rằng với S_1 sẽ co đa thức bậc m-3(n-1). Với trường hợp S_1, có thể thấy bậc nhỏ nhất của đa thức trong \mathcal{P} tương ứng là $3$( trường hợp n=1)

Như thế, ta luôn có m\geq 3n. Ngược lại, cậu dễ dàng chỉ ra 3n mặt phẳng phủ S mà không chứa điểm (0,0,0)( đó là 3n lát cắt gồm n lát song song mỗi chiều)

Kết luận, m cần tìm là 3n.

Theo cách tiếp cận này thì dễ dàng tổng quát hóa kết quả bài toán này nên chiều bất kì, đáp số là kn cho trường hợp k chiều.

Cách thể hiện của Peter Scholze rất đơn giản, sơ cấp và dễ hiểu. Tuy nhiên, cách đặt sai phân lại chính là biến tấu nhẹ nhàng của Nullstellenatz trong Đại số tổ hợp …

(Còn tiếp)

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: