Bờ-nốc bình dân

Giản dị như gió, nhẹ nhàng như mây…

Nullstellenatz(phần 2)

Hilbert cách đây gần trăm năm đã chứng minh kết quả rất hay dưới đây trong đại số mà về sau được biết đến dưới cái tên Hilbert’s Nullstellenatz:

Hilbert’s Nullstellenatz : F là một trường đóng. f, g_1, ..., g_m các đa thức trên vành F[x,_1,...,x_n]. Đặt giả thiết là f triệt tiêu trên mọi nghiệm chung của các g_i, i=1...,n. Nghĩa là, nếu đặt :

S=\{x|g_1(x)=...=g_m(x)=0\} \Rightarrow f(x)=0\ \forall x\in S

Khi đó, tồn tại k\in\mathbb{N}g_1,...,g_m\in F[x,_1,...,x_n] thỏa mãn:

\displaystyle f^k=\sum_{i=1}^{m}h_ig_i

Nếu ta xét trường hợp đặc biệt m=ng_i là các đa thức một biến theo x_i dưới dạng g(x)=g(x_i) và được nhân tử hóa g(x_i)=\Pi_{s\in S_i}(x_i-s) với S_i là các tập con khác rỗng của F. khi đó ta sẽ có một biến tấu khác của Hilbert’s Nullstellenatz :

Nullstellenatz tổ hợp 1: Nếu f triệt tiêu trên tập S=S_1\times S_2\times ...\times S_n khi đó tồn tại cá đa thức h_1,...,h_n trên F[x_1,...,x_n] thỏa mãn :

\left\{ \begin{array}{l}deg(g_i) + deg(h_i)\leq deg(f)\ \forall 1\le i\le n\\ f=\sum_{i=1}^{n}h_ig_i \end{array}\right. (1)

Từ định lý này có thể có ngay bổ dề sau:

Nullstellenatz tổ hợp 2: Cho f\in F[x_1,...,x_n], \displaystyle deg(f)=\sum_{i=1}^{n}t_i trong đó hệ số của \displaystyle \Pi_{i=1}^{n}x_i^{t_i} khác 0. Nếu S_1, ... ,S_n là các tập con khác rỗng của F thỏa mãn |S_i|> t_i\ \forall 1\le i\le n, khi đó tồn tại s_i\in S_i sao cho f(s_1,...,s_n)\neq 0

Trên đây là hai hệ quả rất quan trọng của Nullstellenatz vì chúng có nhiều ứng dụng trong nhiều mảng của Toán học như tổ hợp, đại số thậm chí cả trong các bài toán tô màu của lý thuyết đồ thị ,…. Chính vì hữu hiệu như vậy nên những ai nắm vững được nó sẽ có một công cụ mạnh trước mộ số bài toán. Hai ông mãnh Nga và ukraina trong kì thi IMO 2007 vừa rồi với cách giải bài số 6 là một ví dụ điển hình 😀

Trở lại bài số 6 của IMO. Hai ông mãnh đã lam thế nào nếu như đã biết Nullstellenatz?

Cái phát hiện đầu tiên mà ai cũng phát hiện ra là số mặt phẳng tối thiểu sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 3n vì việc tìm ra 3n mặt phẳng phủ hết S là quá đơn. Hơn nữa ai cũng linh cảm rằng 3n là đáp số. Thế nên 2 ông mãnh đi chứng minh rằng cái đa thức P(được định nghĩa ở bài trước)có bậc không vượt quá 3n là Ok! Cái thể hiện hơn người của 2 ông mãnh này thứ nhất là biết nhiều( có thế mới biết Nullstellenatz là gì chứ 😀 ), thứ 2 là linh cảm toán học tốt. Có linh cảm tốt nên hai ông mãnh mới liên hệ thế này : P\in\mathcal{Z}[x,y,z] triệt tiêu trên tập S=S_1\times S_2\times S_3 -\{0\} ở đó S_1=S_2=S_3=\{0,1,...,n\}|S_1|=|S_2|=|S_3|=n+1. Như vậy, nếu bỏ được cái điểm (0,0,0) chết tiệt là hai ông mãnh thấy ngay nó chính là hệ quả Nullstellenatz tổ hợp 2 ở trên. Vốn hơn người, hai ông mãnh nhanh chóng tìm ra cách tiêu diệt điểm (0,0,0) kia

Rất đơn giản và tự nhiên, hai ông mãnh xét đa thứ sau:

f(x,y,z)=P(x,y,z) - \alpha\Pi_{i=1}^{n}(x-i)(y-i)(z-i)

ở đó \alpha được chon sao cho f(0,0,0)=0(có thể tính ngay \alpha=(-1)^n\frac{P(0,0,0)}{(n!)^3}). Như thế hai ông mãnh thu được đa thức f mà triệt tiêu trên toàn bộ tập S=S_1\times S_2\times S_3. Bây giờ, hai ông mãnh ranh ma giả sử là m<3n nghĩa là deg(P)<3n, khi đó không thể có đơn thức x^ny^nz^n trong khai triển của P. Lại do \alpha\neq 0 nên hệ số của x^ny^nz^n trong khai triển của f khác 0 và deg(f)=3n. Mặt khác |S_1|=|S_2|=|S_3|>n nên theo Nullstellenatz 2, phải tồn tại (s_1,s_2,s_3)\in S_1\times S_2\times S_3 sao cho f(s_1,s_2,s_3)\neq 0. Điều này là rất vô lý 😀

Thế nên hai ông mãnh kết luận deg(P)\ge 3n, đồng nghĩa với m=3n

Thực ra nếu hai ông mãnh vốn đã biết Nullstellenatz rồi, đem ra sử dụng uỵch cái xong luôn thế thì hơi ăn gian vì anh em khác không ai biết gì hết, nhất là đa số đồng môn đêu hì hục vẽ hình kẻ đường rất chi là vất vả mà vẫn không cơm cháo gì. Nhưng sự thực là hai ông mãnh chứng minh ngon lành luôn cả cái Nullstellenatz 2 kia mới đáng sợ. Vì thế không thể nói được là hai ông mãnh chơi ăn gian mà phỉa thừa nhận là hai ông mãnh này gớm thật 😀

Hai ông mãnh chứng minh Nullstellenatz 2 thế nào, xem hồi sau sẽ rõ 😀 …

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: