Bờ-nốc bình dân

Giản dị như gió, nhẹ nhàng như mây…

Tào lao về “Stochastic Calculus” – Phần 2 – tính toán Ito

2.1. Mào đầu

Tính toán ito, cụ thể là tính toán xung quanh công thức tích phân Ito và phương trình đạo hàm riêng Stochastic là nên tảng cơ bản của Stochastic Calculus.

Khác biệt giữa tính toán cổ điển và tính toán stochastic: Giả vờ ta xét X_t như là mộ hàm theo thời gian, như tốc độ bóng từ quả sút phạt của Đỗ Khải(tuy yếu nhưng nhìn kĩ thì cũng thấy bóng chuyển động), hay như tốc dộ tăng trưởng kinh tế ở Rwanda,… hoặc rất có thể là giả của một cổ phiếu FPT,… Nếu như hàm này đủ “trơn”( chỉ cảm giác khi nhìn vào đồ thị của hàm ), bằng cách dùng kí hiệu :\dot{X}_t=\frac{dX_t}{dt} ta có thể viết giản đơn dạng tích phân:

X_t=X_0+\int_{0}^{t}\dot{X}_s ds

hay dưới dạng vi phân: dX_t=\dot{X} _tdt

Bây giờ hãy xét một hàm F\in C^2(\mathbb{R})( nghĩa là F đạo hàm được 2 phát và cái đạo hàm bậc 2 vẫn còn liên tục), ta có thể tính toán sai phân, nhờ vào khai triển Taylor(đến bậc 2) thế này:

\triangle F(X_t)=F(X_{t+\triangle t}) -F(X_t)=F'(X_t')\triangle X_t+\frac{1}{2}F''(X_{\tilde{t}})(\triangle X_t)^2 (2.1)

tất nhiên, \triangle X_t=X_{t+\triangle t}-X_t\tilde{t} nằm đâu đó giữa tt+\triangle t. Nếu X_t trơn, \dot{X}_t bị chặn , khi cho t\rightarrow 0 thì \triangle X_t tiến đến dX_t=\dot{X}_t và đại lượng \triangle X_t tương đương với (dt)^2, vô cùng nhỏ so với (dt) nên ta có thể quên nó đi. Quên nó đi rồi ta có thể viết từ (2.1) là :

dF(X_t)=F'(X_t)dX_t (dạng vi phân) (2.2)

hay F(X_t)=F(X_0) + \int_{0}^{t}F'(X_s)dX_s (2.3) (dạng tích phân).

Tuy nhiến, X_t trơn là một hoàn cảnh hết sức lý tưởng kiểu toán học mới có. Còn trong thực tế, ta gặp rất nhiều hoàn cảnh mà X_t không trơn tru tí nào. Ví dụ như giá cổ phiếu của FTP chẳng hạn, tầm cuối năm 2006 cứ gọi là nhọn hoắt. hay như số lượng người vào youtube xem Vàng Anh độ trung tuần tháng 10 cũng vậy,… Thực tế nói chung và trong lĩnh vực tài chính nói riêng, cái khoản X_t không trơn tru như người ta mong ngóng, ngược lại, nó rất khúc khuỷu nên việc áp dụng tính toán cổ điển theo kiểu (2.1) va (2.2) ở trên không dùng được nữa.

Cuối thể kỉ 19, nhà toán học Đức Weierstras đã hiếu động tìm ra một hàm liên tục mọi nơi nhưng lại không đạo hàm được bất cứ ở đâu. Sự nghịch dại này gây xôn xao và kích thích trí tò mò lớn cho dư luận vốn quen làm toán cổ điển với những hoàn cảnh hết sức lý tưởng. Ấy thế mà cái hiện tượng mà Weierstras tìm ra lại là hiện tượng phổ biến, dặc thù cho giá cổ phiếu trên các sàn giao dịch chứng khoán về sau. Các tính toán cổ điển thất bại sinh ra một công cụ tính toán mới để khắc phục tình trạng này :đó là tính toán stochastic.

Tình huống bây giờ là giá cổ phiếu X_t liên tục nhưng không trơn nữa, nghĩa là vẫn có \triangle X_t\rightarrow \dot{X}_tdt(liên tục) nhưng (\triangle X_t)^2\nrightarrow 0( hiện tượng không trơn) nên không thể quên đi đại lượng này được. Thế là ta phải viết lại (2.2):

dF(x_t)=F'(X_t) dX_t+\frac{1}{2}F''(X_t)(dX_t)^2 (2.3)(dạng vi phân)

hay dưới dạng tích phân

F(X_t)=F(X_0)+\int_{0}^{t}F'(X_s)dX_s+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}F''(X_s)(dX_s)^2 (2.4)

ở đó (dX_t)^2 được coi là vi phân biến thiên chính phương (infinitesimal quadratic variation).

Nhiệm vụ chính của tính toán stochastic là xử lý cái vi phân biến thiên chính phương. Danh chính ngôn thuận thì ito là ngườiđầu tiên làm việc này nên công việc xử lý nay về sau gọi là tính toán Ito

2.2. Những soi mói xung quanh biến thiên chính phương :

Ta gọi phân bố hạn hạn \tau_n trên đoạn {}[0,t] tập hợp sau:

 

\tau_n=\{0=t_0<t_1 <...<t_n=t\}

với điều kiện \displaystyle |\tau_n|=\sup_{t_i\in\tau_n}|t_{i+1}-t_i|\xrightarrow{n\rightarrow \infty} 0. Đại lượng biến thiên của V trên {}[0,t], kí hiệu V_t(X), được định nghĩa thế này:

V_t(X)=\sup_{\tau_n}\sum_{t_i\in\tau_n}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|

NếuV_t(X)<+\infty ta nói X_t không gian các hàm có biến thiên hữu hạn BV({}[0,t]), nếu không ta nói X_t có biến thiên không bị chặn, đây chính là đối tượng nghiên cứu của tính toán stochastic. Để sáng tỏ điều này, trước hết ta đề cập đên cái gọi là đại lượng biến thiên chính phương

Ta định nghĩa đại lượng biến thiên chính phương của X, ký hiện \langle X \rangle_t thế này:

\displaystyle \langle X \rangle_t=\lim_{n\rightarrow 0}\sum_{t_i\in\tau_n}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|^2

nếu như giới hạn này tồn tại.

Trước hết, mệnh đề dưới đây cho phép ta thấy rằng, các tính toán cổ điển trở nên lỗi thời đối với một bộ phận lớn các hàm trong thực tế.

Mệnh đề 2.2.1 : Nếu X\in BV({}[0,t]) thì chắc chắn là \langle X\rangle_t\equiv 0

Điều này dễ thấy thôi, bởi ta có thể viết \displaystyle\sum_{t_i\in\tau_n}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|^2\le \sup_{t_i\in\tau_n}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|\sum_{t_i\in\tau_n}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|. Do X\in BV({}[0,t])\sup_{t_i\in\tau_n}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|\xrightarrow{n\rightarrow 0}0 nên \langle X\rangle_t=0

Qua mệnh đề 2.2.1, nếu \langle X\rangle_t tồn tại và khác 0 thì rõ ràng, X\notin BV({}[0,t]), hay nói cách khác, X có đại lượng biến thiên vô hạn. Nên nhớ rằng lớp các hàm trơn là một tập con của BV({}[0,t]), do đó, \langle X\rangle_t đồng nghĩa với việc X là một hàm không trơn. Đó chính là lý do tại sao biến thiên chính phương là đối tượng chính của tính toán stochastic.

Có thể thấy là \langle X\rangle_t là hàm dương, tăng theo t nên theo định lý Borel, tồn tại một độ đo \mu sao cho \mu{}[0,t]=\langle X\rangle_t

Giống như trong cách định nghĩa về tích phân Lesbegue, nếu f là một hàm liên tục, định nghĩa tích phân của f theo biến thiên chính phương của X như sau:

\displaystyle \int_{0}^{t} f(s)d\langle X\rangle_s=\int_{0}^{t} f(s)d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{t_i\in\tau_n}f(t_i)(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})^2

2.3. Biến thiên chính phương của chuyển động Brown

Chuyển động Brown được phát hiện ra bởi nhà sinh học Brown. Ông này trong lúc quan sát bụi phấn hoa để giết thời gian đã thích thú phát hiện ra rằng chuyển động của các hạt phấn tuy rất lộn xôn nhưng lại có một trật tự nhất định theo thời gian. Quá hấp dẫn ông đã cường điệu hóa hiện tượng lẵng xẹt này lên và ngạo nghễ đặt tên mình cho nó. Nhưng quả thật là phát hiện này đã gây cảm hứng cho rất nhiều nhà khoa học trong nhiều lĩnh vực khác nhau về sau.

Định nghĩa 3.3.1: Quá trình Stochastic (B_t)_{0\le t\le \infty} trên không gian sác xuất (\Omega, \mathcal{F}, P)được gọi là chuyển động Brown chuẩn nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

  1. B_0 =0
  2. t:\mapsto B_t(\omega) là một hàm liên tục P- a.s( nghĩa là P{}[\omega : B_t(\omega) liên tục theo t]=1) (\star)
  3. Các quá trình sai lệch B_t-B_s là độc lập với nhau và tuân theo phân bố chuẩn (normal) \mathcal{N}(0, t-s), với mọi 0\le s<t

Levy, nhà toán học Pháp đầu thế kỉ 20 đã có một kết quả khá hấp dẫn sau:

Định lý 2.3.2 (Lévy): Theo nghĩa P-a.s như (\star) ở trên thì mọi ánh xạ t\rightarrow \langle B\rangle_t(chuyên môn gọi là đường đi) thỏa mãn:

\langle B\rangle_t(\omega)=t\ \forall t\ge 0

Chứng minh định lý Levy: – Cố định t\omega\in\Omega. ta viết:

\displaystyle \langle B(\omega)\rangle_t=X_n=\sum_{t_i\in\tau_n}(\underbrace{B_{t_{i+1}}-B_{t_i}}_{Y_i})^2=\sum_{i\le n}Y_i^2

– Vì B_t là quá trình Brown nên các Y_i độc lập có phân bố chuẩn \mathcal{N}(0,t_{i+1}-t_i) hay là \mathcal{N}(0,\triangle t) nên ta có:

\mathbb{E}{}[Y_i^2]=\sigma^2(Y_i)=\triangle t_i\\ \sigma^2(Y_i^2)=\mathbb{E}{}[Y_i^4]-\mathbb{E}{}[Y_i^2]^2=3\sigma^4(Y_i)-(\triangle t_i)^2=2(\triangle t_i)^2

– Theo định lý giới hạn trung tâm của sác xuất : các Y^2_iđộc lập tuyến tính nên với n đủ lớn, tổng của chúng, nghĩa là X_n có thể được xấp xỉ bởi phân bố chuẩn

\displaystyle\mathcal{N}(\sum_{i\le n}\triangle t_i, 2\sum_{i\le n}(\triangle t_i)^2)

Rõ ràng \sum_{i\le n}\triangle t_i=t\sum_{i\le n}(\triangle t_i)^2\rightarrow 0 khi n\rightarrow +\infty nên X_n tiến tới phân bố chuẩn \mathcal{N}(t,0)

– Theo đó, \displaystyle P-\lim_{n}X_n=t nên tồn tại dãy con (X_{n'}) của (X_n) sao cho (X_{n'})\rightarrow t\ P-a.s. Như vậy, nếu lấy theo phân bố \tau_{n'} ta có:

B_t=\sum_{t_i\in\tau_{n'}} (Y_i)^2=X_{n'}\rightarrow t\ P-a.s\ \square

Từ định lý này của Lévy, cộng với nhận xét ở mệnh đề 2.2.1 ta có ngay được bổ đề sau:

Bổ đề 2.3.3: Mọi đường đi của chuyển động Brown đều có biến thiên vô hạn(không bị chặn): \langle B(\omega)\rangle_t\notin BV({}[0,t]) P-a.s.

2.4. Công thức tích phân( và vi phân) Ito:

Định lý 2.4.1 (Công thức Ito trên \mathbb{R}^1): Giả sử X là một hàm liên tục có biến thiên chính phương \langle X\rangle_t cũng liên tục theo t. F\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}) như ở trên. Công thức tích phân Ito áp dụng cho F theo X_t được viết:

\displaystyle F(X_t)=F(X_0)+\int_{0}^{t}F'(X_s)dX_s+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}F''(X_s)d\langle X\rangle_s (2.5)

ở đó, tích phân \displaystyle \int_{0}^{t}F'(X_s)dX_s được định nghĩa giống như trong tích phân Lesbegues, nghĩa là bằng giới hạn :

\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sup_{\tau_n}\sum_{t_i\in\tau_n}F'(X_{t_i})|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|

Dạng vi phân của công thức Ito được viết:

dF(X)=F'(X)dX+\frac{1}{2}F''(X)d\langle X\rangle (2.6)

Công thức (2.5) được gọi là dạng tích phân, (2.6) còn có tên chuyên môn là dạng vi phân stochastic của F

2.4.2. Các ví dụ hay gặp:

Chúng ta tào lao ở đây một số trường hợp giản đơn mà lại hay phải ngứa mắt nhì thấy chúng. Đó là những ví dụ mà khi các bạn xem, các bạn sẽ thấy rõ nét hơn về sự khác biệt giữa tích toán cổ điển và tính toán stochastic nhờ ánh đèn soi sáng của công thức Ito đem lại

Ví dụ 1: Trường hợp F(x)=x^n, lúc đó, công thức Ito dạng tích phân áp dụng vào hàm này sẽ là:

\displaystyle X_t^n=X_0^n+n\int_{0}^{t}X_s^{n-1}dX_s+\frac{n(n-1)}{2}\int_{0}^{t}X_s^{n-2}\langle X\rangle_s

Dạng vi phân stochastic :

d(X^n) =nX^{n-1}dX+\frac{n(n-1)}{2}X^{n-2}d\langle X\rangle

Ví dụ 2: F(x)=e^x, dạng tích phân áp dụng cho hàm này là:

\displaystyle e^{X_t} =e^{X_0}+\int_{0}^{t}e^{X_s}dX_s+\int_{0}^{t}e^{X_s}d\langle X\rangle_s

và dạng vi phân stochastic:

d(e^{X})=e^{X}dX+\frac{1}{2}e^{X}d\langle X\rangle

Ví dụ 3: F(x)=\log x, dạng tích phân:

\displaystyle \log (X_t) =\log (X_0)+\int_{0}^{t}\frac{1}{X_s}dX_s - \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\frac{1}{(X_s)^2}d\langle X\rangle_s

và dạng vi phân stochastic:

\displaystyle d(\log X) =\frac{1}{X}dX-\frac{1}{2X^2}d\langle X\rangle

Advertisements

11 responses to “Tào lao về “Stochastic Calculus” – Phần 2 – tính toán Ito

  1. sh**worm Tháng Mười Hai 26, 2007 lúc 3:35 chiều

    tu nhieen het rup mot phat, dang cho de doc ket luan voi mot cong thuc do’ng khung :))

  2. Hải Tháng Một 5, 2008 lúc 3:00 chiều

    Bài viết của anh rất hay.Em xin cám ơn!

  3. Vo Duc Hoang Vu Tháng Sáu 2, 2008 lúc 10:32 chiều

    Minh dang hoc course co ten la Irresversibility, Uncertainty, and Real Option Value dung sach cua Dixon va Pindyck (1994) lien quan trong lanh vuc kinh te cung dung stochastic Process, Brownian motion with drift, Ito process, etc. Dang doc tai lieu nhung khong hieu gi het. Khong biet phai tiep can no nhu the nao nhi?

  4. Hung Thuy Tháng Sáu 10, 2008 lúc 4:01 chiều

    Hí hí không hiểu chỗ nào tra từ điển chỗ ấy thôi :p. Việt Nam dek có option, nên có học 1 đống brownian về cũng quên cả. =)). Tiện đố Duy 1 bài:

    Ông vua đố 2 nhà toán học A và B một câu như sau. Ông bảo ông có 2 số nguyên lớn hơn 1. Ông nói thầm vào tai ông A tổng 2 số đó, rồi nói thầm vào tai ông B tích hai số đó, biết rằng tổng 2 số nhỏ hơn 60. Ông A ông B nghĩ mãi ko ra. Ông A cuối cùng bảo chịu, tao ko đoán được, mà thằng B mày cũng chả đoán được đâu. Ông B cười bảo thế thì tao đoán được rồi. Ông A cũng cười bảo thế thì tao đoán được rồi.Hỏi 2 số ấy là số nào? Hết trận Nga Tây Ban Nha nhé :p

  5. duymo Tháng Sáu 11, 2008 lúc 3:04 chiều

    Em bây giờ mới đọc được câu đó của anh Hưng, anh Hưng định lừa em phỏng 😀

    Bài đó này em đã đọc qua rồi, cũng đã suy nghĩ và cũng xem lời giải rồi 😀 . Rất may cái hồi em đọc cái này em lớn rồi nên không bị lừa nữa. Lời giải chungsnos trâu đất quá :)) . Hồi trai trẻ thì chắc cũng hỳ hục vào đếm đếm xét xét như thế để tìm ra hai cái số ấy đấy :)) .

    Cái bài em đọc được ở đây( tiếng Pháp 😀 ) : http://faq.maths.free.fr/texte/faq45.html.

    Nếu anh có lời giải nào hay hơn hoàn toàn kiểu suy luận logic mà không có tham gia của số má thì bảo em để em đi đố đứa khác những lúc trà dư tửu hậu.

  6. duymo Tháng Sáu 11, 2008 lúc 3:11 chiều

    Gửi bạn Vo Duc Hoang Vu : tớ không chuyên về kinh tế tài chính, chỉ ghé qua một chút về statistic, là một ngành của Toán thôi chứ thiên về kinh tế tai chính thì tớ không biết 😀 .

    Nếu bạn cần nắm rõ về Brown Motion, Ito calculus và Stochastic Process bạn nên tìm một cuốn sách chuyên cho khoản này. Tất nhiên cũng phải có nền về Probability vững một tí thì dễ hiểu hơn. Riêng Ito Calculus bạn cần phải có thêm tí kiến thứ về phương trình vi phân nữa( chính xác là phương trình đạo hàm riêng), … Bể học mênh mang, nói thế để an ủi mình nên đừng hoang manh 😀 .

    Hơn nữa mấy cái nhăng cuội tào lao tớ viết ở trên mới là mơi mơi thôi, chưa có thời gian kết thúc được; Khi nào có hứng và thời gian rộng rãi tớ sẽ bi bô tiếp

  7. hippo Tháng Sáu 11, 2008 lúc 9:55 chiều

    Ông vua đố 2 nhà toán học C và D một câu như sau. Ông bảo ông có 2 số nguyên nho hơn -1. Ông nói thầm vào tai ba` C hie^.u 2 số đó, rồi nói thầm vào tai ba` D thuong hai số đó, biết rằng hieu 2 số lon hơn 10. Ba` C ba` D nghĩ mãi ko ra. Ba` C cuối cùng bảo chịu, tao ko đoán được, mà con D mày cũng chả đoán được đâu. Ba` D cười bảo thế thì tao đoán được rồi. Ba` C cũng cười bảo thế thì tao đoán được rồi.Hỏi 2 số ấy là số nào? Hết trận Hy Lap Phap nhé :p

    P.S Google key search: Différence et quotient de deux entiers 😀

  8. Hung Tháng Sáu 13, 2008 lúc 3:24 sáng

    Ờ, lời giải chung ghét lắm. Giải kiểu nông dân thế này (cách giải nghĩ ra từ đáp án)

    Thằng A bảo thằng B ko đoán ra nên cái tổng ấy ko thể phân tích thành tổng của 2 số nguyên tố. Vậy loại trừ các trường hợp này đi (lấy danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 60, xem các tổng có thể là bao nhiêu), và còn lại, anh tuởng tuợng ra là toàn các số lẻ :p

    Nếu vậy 1 trong 2 số phải là chẵn (1). Giờ thằng tích nó đoán đuợc nhanh thế, thì trong tay nó phải có ít khả năng thôi, tốt nhất là 2 khả năng, và nhờ câu của thằng kia mà loại 1. Để có 2 khả năng, thì 1 trong 2 số phải là nguyên tố, số còn lại, là số chính phuơng dạng a^2 với a là số nguyên tố :p. Sau đó ta cố gắng loại truờng hợp số nguyên tố phải là 2 (chẵn) và đẩy số chẵn này thành số chính phương và nhanh chóng có đáp án đầu tiên là 4 =)). Đến đây ko tuởng tựong dc ra cái gì để bớt trâu bò :p

    Bạn gì Vũ học option ơi, toán hòanh tráng thế nhưng mà vào kinh tế nó đơn giản hóa nhiều, cố lên, ngày xưa có đứa lấy đạo hàm cũng ko biết mà cũng qua dc khóa học định giá option :p

  9. sh**worm Tháng Sáu 25, 2008 lúc 5:47 chiều

    Anh Hung, the cai bai cua em thi sao, ba’n ket den noi roi :)))

  10. sh**worm Tháng Sáu 25, 2008 lúc 5:48 chiều

    Anh Ha?i o tren co phai la anh Hai Khi.t khong a :)))))))

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: