Bờ-nốc bình dân

Giản dị như gió, nhẹ nhàng như mây…

Sự loằng ngoằng của khái niệm và logic

3 bình luận Posted by trên Tháng Hai 29, 2008

Ai học hoặc quan tâm đến logic chắc đều biết đên cái gọi là “nghịch lý của anh thợ cắt tóc”. Nghịch lý này được phát biểu thế này

Ở làng nọ có một anh chàng chuyên đi cắt tóc cho những người không tự cắt được cho mình. Hỏi tóc anh ta thì ai cắt cho.

Rõ ràng nếu sự tồn tại của anh chàng này là đúng thì logic sẽ sai vì anh ta sẽ không được cắt tóc 😀 . Cái sự tự làm cho mình(mà theo ngôn ngữ sành điệu gọi là”tự sướng”)như trong nghịc lý anh thợ cắt tóc này lại là một phương pháp luận lý thú trong logic, cũng như là cơ sở để phát biểu vô số những nghịch lý, tréo ngoe khác.

Vis dụ trong cơ sở lý thuyết tập hợp, người học bao giờ cũng được giáo huấn về mấy khái niệm về số phần tử của tập hợp( còn gọi là lực lượng), sự hữu hạn của rồi vô hạn của lực lượng. Vô hạn cũng chưa thỏa mãn, người ta còn nói đến tính đêm được rồi không đếm được của tập hợp. Đến đây người ta mới tực sự ngơ ngác vì không biết giữa đêm được và không đếm được còn cái giống gì nữa không.

Cụ thể, ta lấy một tập hợp A để minh họa cho nó phong phú. Chuyện A hữu hạn hay vô hạn thì chắc ai cũng biết rồi. Trong vô hạn người ta chia làm 2 loại:

  1. Loại đếm được là loại mà ta có thể đánh số thứ tự cho các phần tử của nó theo kiểu 1,2,3,… 2008,…v.v, mặc dù nó vô hạn.(chứ không phải đếm được theo kiểu học lớp 1 về khoa với bố là con đếm được đến 10 đâu) Ví dụ đơn giản nhất là tập các số tự nhiên \mathbb{N}={1,2,3,...}.
  2. Loại không đếm được là loại mà ta không đánh số được các phần tử của nó. Ví dụ như tập hợp các điểm trên một đoạn thẳng(hay đường thẳng) là một tập không đếm được

Giữa các tập hợp với nhau tồn tại một quan hệ được xác định trên lực lượng của chúng. Hai tập được gọi là tương đương nếu tồn tại một quan hệ 1-1 giữa hai tập đó(hay còn gọi là song ánh). Tập A nhỏ hơn tập B nếu có một đơn anh nhưng không toàn ánh từ A vào B.

Song ánh nghĩa là mỗi phần tử của A cho tương ứng duy nhất một phần tử của B và ngược lại. Đơn anh từ A vào B nghĩa là mỗi phần tử khác nhau của A cho tương ứng một phần tử khác nhau của B(tính đơn ánh) và toàn ánh từ A vào B nghĩa là mỗi phần tử của B đều là tương ứng từ một phần tử nào dó của A.

Người ta đã ní nuận được rằng mọi tập đếm được đều tương đương với nhau nhưng người ta lại bơ vơ về các tập không đếm được. Chính xác hơn, người ta không biết được rằng đâu là ranh giới rõ ràng giữa hai thể loại đếm được và không đếm được.

Bây giờ, để minh họa cho cái lợi ích của ní nuận theo cách tự sướng,t a dùng nó vào bài ní nuận nhỏ sau: Giả sử A là một tập hợp tùy ý, \mathcal{P}(A)| tập tất cả các tập con của A.

Thật vậy, rõ ràng |A|\le |\mathcal{P}(A)| nên chỉ cần chứng minh có phần tử \mathcal{P}(A) không tương ứng với cái nào trong A. Giả sử ngược lại, nghĩa là tồn tại 1 song ánh f : A\mapsto \mathcal{P}(A) như sau:

S=\{a\in A : a\notin f(a) \}

Rõ ràng, S được định nghĩa ngon lành, nên hẳn nhiên là tồn tại(mặc dù nó có thể là rỗng) và do S là một tập con của A nên S là một phần tử của \mathcal{P}(A). Nếu tồn tại s\in A để f(s)=S ta sẽ thấy s là hư vô. Thất vậy, nếu s\in S nghĩa là s\notin f(s)=S, nếu s\notin S nghĩa là s\in f(s)=S, thật là vô lý. Vì vậy không tồn tại s nào như thế cả nghĩa là S chẳng bố con với thành phần nào trong A hết. Thế nên A<\mathcal{P}(A).

Người ta ký hiệu nói chung lực lượng của 1 tập A là |A|. Một tính chất ngây thơ là : nếu A là một tập hữu hạn, khi đó sẽ có tổng cộng 2^{|A|} số tập con của A( bao gồm cả tập \emptyset). Qua đó mà người ta quy ước chung lực lượng của tập \mathcal{P}(A) là 2^{|A|}. Theo những lý luận ở trên thì ta luôn có |A| < 2^{|A|}.

Giả sử bây giờ A là tập hợp các số tự nhiên \mathbb{N}, khi đó \mathcal{P}(\mathbb{N}) sẽ là tập hợp các dãy số kiểu a=(a_1,a_2, ...,a_k,...) . Ứng với mỗi a, ta xét số:

f (a) \displaystyle= \sum_{k\ge 1}^{} \frac{1}{2^{a_k+1}} ; f (a) =0 nếu a=\emptyset (\star).

Dễ dàng chứng minh được f(a)\neq f(a) nếu a\neqb. Hơn nữa mọi số thực trong [0,1] đều có thể biểu diễn dạng thập phân dưới dạng (\star). Vậy, tập \mathcal{P}(\mathbb{N}) tương đương với tập các số thực trên [0,1]. Cũng dễ dàng chỉ ra được rằng [0,1] tương đương với toàn bộ tập số thực \mathbb{R}. Theo đó, ta có kết luận :

\mathcal{P}(\mathbb{N}) \simeq \mathbb{R} .

Sau khi phát hện ra điều này, loài người, mà tiên phong bởi Cantor, đã phân vân tự hỏi rằng, thế giữa \mathbb{R} và \mathbb{N} có thể loai tập nào trung gian nữa không, cụ thể, tồn tại hay chăng một tập \mathbb{M} sao cho:

\mathbb{N} < \mathbb{M}< \mathbb{R} hay dưới hình thức lực lượng : |\mathbb{N}|<|\mathbb{M}|< 2^{|\mathbb{N}|} (\star\star).

Cái sự trăn trở của Cantor về sau được nâng cấp thành cái gọi là “giả thuyết liên tục của Cantor” vô cùng nổi tiếng.

Giải thuyết liên tục của Cantor : Không tồn tại một tập \mathbb{M} nào như ở (\star\star).

Sự hấp dẫn của giải thuyết này đã khiến Hilbert biến nó thành bài đầu tiên trong danh sách 23 bài khét tiếng mà ông đã đưa ra ở đại hội Toán học thế giới 8/8/1900, thách thức cả nhân loại suốt hơn một thế kỉ sau. Nội dung câu hỏi của bài toán đó chỉ đơn giản là

Bài số 1 của Hilbert : Có thể chứng minh được giải thuyết liên tục của Cantor hay không?

Và câu trả lời thì lại vô cùng mơ hồ : không quyết định được (indecidable). Và người ta còn chứng minh được cài việc không quyết định được, thế mới thật là quắm cú.

Vậy thế nào là không quyết định được?

Mô hình toán học từ cổ điển đến hiện đại nói chung được xây dựng trên nền tảng những tiên đề và khái niệm. Tiên đề là những thứ thơ ngây nhất mà ai cũng thấy rõ ràng là đúng nhưng không thể cắt nghĩa rõ ràng hơn nữa vì chúng ngây thơ nhất rồi. Khái niệm là việc đặt tên lên những đối tượng tham gia vào mô hình toán học. Xuất phát từ tiên đề và khái niệm, người ta sử dụng những lý luận logic mà vốn dĩ độc lập với tiên đề và tuần túy tự nhiên để nhào nặn nên những quan hệ và tính chất của nó giữa những đối tượng toán học. Chỉ có như vậy mà người ta xây tạo nên được những mệnh đề, định lý, bổ đề rồi cả giả thiết (là những thứ mà người ta cảm giác là đúng nhưng không ngây thơ như tiên đề nên cần phải chứng minh. Khi được chứng minh đúng đắn rồi thì nó sẽ trở thành định lý,…).

Hilbert đã từng hoài bão và đã bắt tay vào xây dựng một mô hình Toán học thật sự chặt chẽ theo kiểu trên mà ông gọi là những mô hình Toán học hình thức. Ông không chấp nhận bất cứ một kiểu Toán nào mà dựa trên trực giác mà theo ông là thiếu chặt chẽ -( đi tiên phong cho phong trào Toán học trực giác này là ngài Henri Poincaré đáng kính, đương thời với ông ở Balê).

Tưởng như sự phát triển của toán học với những bước xuất phát điểm vững trãi như vậy khiến cho mô hình của Hilbert như một pháo đài vô cùng chắc chắn mà ở đó mỗi viên gach, mỗi lớp vữa đều được đẽo gọt, bôi chát tỉ mẩn kĩ càng nhất khiên cho pháo đài đó không thể có kẽ hở khi ỏ trạng thái phòng thủ. Ông đã minh họa điều đó ở bài toán số 2 trong danh sách 23 bài của ông:

Bài số 2 của Hilbert : Có thể chứng minh được không tính chặt chẽ của các thuật toán thông thường mà xây dượng lên tập hợp các số tự nhiên?

Ấy thế mà, vào đầu thế kỉ 20 một quái nhân đã làm lung lay cả nền móng của Toán học, xé nát giấc mơ của Hilbert. Y tên là Kurt Godel. Được coi là nhà logic học lỗi lạc nhất lịch sử loài người. Golden đã đập vỡ pháođài của Hilbert bằng định lý “không hoàn hảo” khét tiếng của mình:

Định lý không hoàn hảo Godel : Không có một hệ toán học hình thức chắc chắn nào, mà vốn có thể dùng để định nghĩa các thuật toán dùng để xây dựng lên tập hợp các số tự nhiên, lại đảm bảo được tính chắc chắn của bản thân hệ đó.

Theo đó, Godel đã chứng minh rằng trong bản thân những hệ đó, tồn tại một công thức quắm cú mà không thể chứng minh được rằng nó đúng hay sai từ những quá trình logic của bản thân hệ đó. Một hệ như vậy có tên là không hoàn hảo (incomplete) và cái công thức quắm cú đó cọi là không quyết định được.

Giả thuyết liên tục của Cantor đã được chứng minh là không quyết định được :

  • Năm 1940, Godel đã chứng minh : từ những tiên đề và khái niệm thông thường của lý thuyết tập hợp, không thể chứng minh được giả thuyết liên tục là sai
  • Năm 1963, Cohen đã chứng minh: cũng từ những tiên đề và khái niệm thông thường của lý thuyết tập hợp như của Godel, cũng không thể chứng minh được giả thuyết liên tục là đúng.

Quả thật là quắm cú.

 

 

 

Ní nuận

3 responses to “Sự loằng ngoằng của khái niệm và logic”

  1. vddoan Tháng Ba 27, 2008 lúc 8:16 chiều

    Anh Duy dang tap danh Latex tren wordpress a ?

    Trả lời
  3. Ẩn danh Tháng Mười Một 1, 2015 lúc 5:19 chiều

    :
    chỗ song ánh A ->P(A):
    S=\{a\in A : a\notin f(a) \} có bị mâu thuẫn từ cách đặt rồi không, mong nhận được sự giải thích!

    Trả lời

Bình luận về bài viết này